5.5到5.53的翻译

5.5 条件期望的性质 (Properties of Conditional Expectation)

条件期望 $E(Y|X=x)$ 是一个比条件期望 $E(Y|\mathscr{G})$ 更直观的对象；然而，这种直观性很难推广到 $X$ 是有限维随机向量以外的情形。因此，在 $\mathscr{G}$ 是任意 $\sigma$-代数的形式化论证中，我们被迫使用 $E(Y|\mathscr{G})$。

为了方便起见，我们将成对地推导条件期望的基本性质：一个关于 $E(Y|\mathscr{G})$ 的论证，另一个（通常非常相似）关于 $E(Y|X=x)$ 的论证。关于条件概率的定理可以通过将 $Y$ 替换为指示函数 $I_B$ 获得，而关于 $E(Y|X)$ 的结果可以通过令 $\mathscr{G} = \sigma(X)$ 获得。

在接下来的讨论中，$Y, Y_1, Y_2, \dots$ 是 $(\Omega, \mathscr{F}, P)$ 上的广义随机变量（extended random variables），并假设所有期望都存在；$X: (\Omega, \mathscr{F}) \to (\Omega’, \mathscr{F}’)$ 是一个随机对象，$\mathscr{G}$ 是 $\mathscr{F}$ 的子 $\sigma$-代数。若短语“a.e.”（几乎处处）没有指定测度，则总是指 a.e. $[P]$。如果 $Z: (\Omega, \mathscr{G}) \to (\bar{\mathbb{R}}, \mathscr{B})$，我们称 $Z$ 是 $\mathscr{G}$-可测的；如果 $g: (\Omega’, \mathscr{F}’) \to (\bar{\mathbb{R}}, \mathscr{B})$，我们称 $g$ 是 $\mathscr{F}’$-可测的。

5.5.1 定理 (Theorem)

如果 $Y$ 几乎处处 (a.e.) 为常数 $k$，则 (a) $E(Y|\mathscr{G}) = k$ a.e. (a’) $E(Y|X=x) = k$ a.e. $[P_X]$.

如果 $Y_1 \le Y_2$ a.e.，则 (b) $E(Y_1|\mathscr{G}) \le E(Y_2|\mathscr{G})$ a.e. (b’) $E(Y_1|X=x) \le E(Y_2|X=x)$ a.e. $[P_X]$.

[注：诸如 $E(Y_1|\mathscr{G}) \le E(Y_2|\mathscr{G})$ a.e. 这样的陈述意味着：如果 $Z_j$ 是 $E(Y_j|\mathscr{G})$ 的一个版本（version），换句话说，$Z_j$ 满足定义要求 5.4.3，则 $Z_1 \le Z_2$ a.e.]

(c) $|E(Y|\mathscr{G})| \le E(|Y| \big| \mathscr{G})$ a.e. (c’) $|E(Y|X=x)| \le E(|Y| \big| X=x)$ a.e. $[P_X]$.

证明 (PROOF):

(a) 常数函数 $k$ 是 $\mathscr{G}$-可测的，并且

(a’) 如果 $g(x) \equiv k, x \in \Omega’$，则 $g$ 是 $\mathscr{F}’$-可测的，并且

(b) $\int_C Y_1 dP \le \int_C Y_2 dP$；因此

该结论由 [引理] 1.6.11 得出。

(b’) $\int_{{X \in A}} Y_1 dP \le \int_{{X \in A}} Y_2 dP$；因此

该结论由 1.6.11 得出。

(c) 和 (c’) 由 (b) 和 (b’) 以及观察到 $-|Y| \le Y \le |Y|$ 得出。 $\square$

我们现在证明条件期望的一个可加性定理。

5.5.2 定理 (Theorem)

(a) 如果 $a, b \in \mathbb{R}$，并且 $aE(Y_1) + bE(Y_2)$ 定义良好（即不是 $\infty - \infty$ 的形式），则 $E(aY_1 + bY_2|\mathscr{G}) = aE(Y_1|\mathscr{G}) + bE(Y_2|\mathscr{G})$ a.e.

(a’) 如果 $a, b \in \mathbb{R}$，并且 $aE(Y_1) + bE(Y_2)$ 定义良好，则

证明 (PROOF):

(a) 如果 $C \in \mathscr{G}$，

因此 $\int_C aE(Y_1|\mathscr{G}) dP + \int_C bE(Y_2|\mathscr{G}) dP$ 定义良好，再次利用积分的可加性定理，

正如所需证明的那样。

(a’) 这与 (a) 的做法一样，只需将 $C$ 替换为 ${X \in A}$ 并将

在未来，我们将用诸如“同 (a)”这样的短语来处理此类证明。 $\square$

单调收敛定理（The monotone convergence theorem）以及非负级数可以逐项积分的事实，在条件期望中都有确切的对应结论。

Theorem 5.5.1 证明讲述脚本

0. 开场与准备 (Recap Definition)

【🗣️ 口述】 “各位老师/同学好，接下来我来讲解 Theorem 5.5.1。 这个定理给出了条件期望的三个基本性质：常数性、单调性和模不等式。 证明这三个性质的核心逻辑是一致的，就是回到定义（Check the Definition）。 所以在开始之前，我们先快速回顾一下 $Z = E(Y|\mathscr{G})$ 的定义需要满足哪两个条件。”

【✍️ 板书】 (在黑板最上方写下定义，作为后续引用的依据)

Def: $Z = E(Y|\mathscr{G})$ iff:

1. $Z$ is $\mathscr{G}$-measurable.
2. $\forall C \in \mathscr{G}, \quad \int_C Z , dP = \int_C Y , dP$.

1. 证明性质 (a): 常数性 (Constant)

【🗣️ 口述】 “首先看性质 (a)。如果 $Y$ 几乎处处等于常数 $k$，我们要证它的条件期望也是 $k$。 这非常直观。我们在数学上只需要验证常数 $k$ 是否满足上面的积分等式。”

【✍️ 板书】 (a) If $Y = k$ a.e., then $E(Y|\mathscr{G}) = k$.

Proof: Check definition for $Z = k$:

$\therefore$ Holds for all $C \in \mathscr{G}$.

2. 证明性质 (b): 单调性 (Monotonicity)

【🗣️ 口述】 “接下来是性质 (b)，单调性。这是后续很多证明的基础。 已知 $Y_1 \le Y_2$，我们要证明条件期望也保持这个序关系。 证明分三步：

1. 利用普通积分的单调性。
2. 代入条件期望的定义。
3. 利用测度论的一个重要引理（Lemma 1.6.11）：如果在一个 $\sigma$-代数的所有集合上积分都保持大小关系，那么被积函数本身也保持大小关系。”

【✍️ 板书】 (b) If $Y_1 \le Y_2$ a.e., then $E(Y_1|\mathscr{G}) \le E(Y_2|\mathscr{G})$.

Proof:

1. Since $Y_1 \le Y_2$, for any $C \in \mathscr{G}$:

   $$\int_C Y_1 \, dP \le \int_C Y_2 \, dP$$

2. By definition of Conditional Expectation:

   $$\int_C E(Y_1|\mathscr{G}) \, dP \le \int_C E(Y_2|\mathscr{G}) \, dP$$

3. Since this holds $\forall C \in \mathscr{G}$, by Lemma 1.6.11:

   $$E(Y_1|\mathscr{G}) \le E(Y_2|\mathscr{G}) \quad \text{a.e.}$$

3. 证明性质 (c): 模不等式 (Triangle Inequality)

【🗣️ 口述】 “最后是性质 (c)，$|E(Y|\mathscr{G})| \le E(|Y||\mathscr{G})$。 这个性质其实是单调性的直接推论。我们不需要重新积分，只需要利用绝对值的夹逼性质。 既然 $-|Y| \le Y \le |Y|$，我们可以对这三项同时取条件期望。”

【✍️ 板书】 (c) $|E(Y|\mathscr{G})| \le E(|Y| \big| \mathscr{G})$.

Proof: We know:

Apply monotonicity (b):

Linearlity (pull out -1):

$\therefore |E(Y|\mathscr{G})| \le E(|Y| \big| \mathscr{G})$.

4. 结尾补充 (关于 $X=x$ 的情况)

【🗣️ 口述】 “最后稍微提一下，对于定理中提到的 (a’), (b’), (c’) 关于 $E(Y|X=x)$ 的情况。 证明逻辑是完全一样的（Same logic）。 区别仅仅在于我们把积分区域从 $C$ 换成了它的原像 ${X \in A}$，把测度 $P$ 换成了分布 $P_X$。”

【✍️ 板书】 (这里不需要写详细证明，写个对应关系即可)

Note on (a’), (b’): Replace $\int_C \dots dP$ with $\int_{{X \in A}} \dots dP = \int_A \dots dP_X$.

5.5.2 定理 证明讲述脚本

Theorem 5.5.2 证明讲述脚本

0. 引入定理 (Introduction)

【🗣️ 口述】 “接下来我们证明 Theorem 5.5.2，也就是条件期望的线性性质 (Linearity)。 这是我们在实际计算中最常用的性质：线性组合的条件期望，等于条件期望的线性组合。 这里有一个前提条件：$aE(Y_1) + bE(Y_2)$ 必须是定义良好的（即不能出现 $\infty - \infty$ 的情况）。”

【✍️ 板书】 Theorem 5.5.2 (Linearity)

(Condition: RHS is well-defined)

1. 证明的核心推导 (The Derivation)

【🗣️ 口述】 “证明的思路依然是验证法。我们需要证明右边的式子满足条件期望的积分定义。 也就是要证明：对于任意的 $C \in \mathscr{G}$，两边的积分相等。

让我们从左边一项的积分开始推导。这是一个三步走的过程：

1. 拆分：利用普通积分的线性性把式子拆开。
2. 替换（关键步骤）：根据条件期望的定义，把 $\int Y$ 替换为 $\int E(Y|\mathscr{G})$。
3. 合并：再次利用普通积分的线性性把式子合起来。”

【✍️ 板书】 Proof: For any $C \in \mathscr{G}$:

2. 结论 (Conclusion)

【🗣️ 口述】 “大家请看板书的头和尾。 我们要寻找的目标函数是 $aY_1 + bY_2$ 的条件期望。 我们发现，函数 $Z = aE(Y_1|\mathscr{G}) + bE(Y_2|\mathscr{G})$ 完美满足了积分等式：

而且，$Z$ 显然是 $\mathscr{G}$-可测的（因为它是两个可测函数的线性组合）。

因此，根据定义，括号里的这一项就是 $aY_1 + bY_2$ 的条件期望。”

【✍️ 板书】 $\because$ Equation holds $\forall C \in \mathscr{G}$, $\therefore$ By definition:

3. 补充说明 (关于 X=x)

【🗣️ 口述】 “最后，关于 (a’) 部分，也就是 $E(\cdot|X=x)$ 的情况。 证明方法完全一致（Same as (a)）。 书上也提到，只需要把积分区域 $C$ 替换为 ${X \in A}$，把测度换成 $P_X$ 即可。 以后遇到类似的证明，我们都可以用‘同上’来处理。”

【✍️ 板书】 (可选写) For (a’) $E(\cdot|X=x)$: Replace $C$ with ${X \in A}$, same logic.