讲稿：L∞ 空间 (The Space L-Infinity)
核心目标：讲清楚 Essential Supremum（本质确界）的定义，以及 L∞ 收敛为什么等价于“除去零测集后的一致收敛”。
0. 开场：引入 (Introduction)
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2.4.15 The Space $L^\infty$
- Recall $L^p$ ($1 \le p < \infty$): Control size via $\int |f|^p d\mu$.
- Problem: If $p=\infty$, integral def fails. $\sup |f|$ is sensitive to measure-0 sets.
- Goal: Control “peak” value, ignoring “noise”.
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- (面向听众) 大家好。我们之前已经详细讨论了 $L^p$ 空间（$1 \le p < \infty$），那是通过积分来控制函数大小的。
- 今天我们要看 $p=\infty$ 的情况。直观上，我们需要控制函数的“最大值”。
- (指板书 Problem) 但是，如果我们直接用普通的 Supremum (上确界)，会有一个问题：它对零测集太敏感了。改变一个点的函数值，最大值会剧烈变化，这不符合测度论的精神。
- 所以，我们需要一个新工具：本质确界 (Essential Supremum)。
1. 核心定义：本质确界 (The Definition)
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1. Essential Supremum Let $g$ be measurable.
$$S = \{ c \in \bar{R} : \mu(\{ g > c \}) = 0 \}$$(Set of “valid upper bounds” ignoring null sets)
$$\text{ess sup } g = \inf S$$🗣️ [讲稿 | Script]
- (一边写公式一边解释) 请看定义。
- 这里的 $c$ 是一个候选的“天花板”。
- 如果集合 ${ g > c }$ 的测度为 0，说明函数 $g$ 只有在微不足道的地方才比 $c$ 大。那么 $c$ 就是一个“本质上合格”的上界。
- (关键点) 这样的 $c$ 可能有很多。为了找到最紧的那个界，我们取这些 $c$ 的 下确界 ($\inf$)。
- 这就是
ess sup g。一句话总结：它是忽略掉零测集上的“噪点”后的最大值。
2. 空间与范数 (Space & Norm)
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2. The Space $L^\infty$
- $$L^\infty = \{ f : \|f\|_\infty < \infty \}$$
- Norm: $|f|_\infty = \text{ess sup } |f|$
- Triangle Inequality: $|f+g|\infty \le |f|\infty + |g|_\infty$ (a.e.)
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- 有了这个定义，$L^\infty$ 就是所有本质有界函数的集合。
- 书上验证了它满足三角不等式（Minkowski 不等式）。
- 理由很简单：$|f+g| \le |f| + |g|$ 是逐点成立的，所以在“几乎处处”的意义下，取本质确界后不等式依然成立。
- 这确认了 $L^\infty$ 是一个线性空间。
3. 收敛性：重难点 (Convergence)
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3. Convergence Theorem: $|f_n - f|_\infty \to 0 \iff f_n \to f$ uniformly a.e.
Proof Sketch:
- Given $|f_n - f|_\infty \to 0$. For each $m$, exists $A_m$ (null set) where error $> 1/m$.
- The Trick: Let $A = \bigcup_{m=1}^{\infty} A_m$.
- $\mu(A) = 0$ (Countable union of null sets).
- On $A^c$: $|f_n - f| < 1/m$ for all large $n$. $\implies$ Uniform Convergence.
🗣️ [讲稿 | Script]
- (敲重点) 接下来是这一节的核心：在 $L^\infty$ 中收敛意味着什么？
- 结论是：它等价于几乎处处一致收敛。
- 书上的证明用了一个很巧妙的构造。
- 假设范数收敛，那么对于每一个精度 $1/m$，可能都有一个“坏点集合” $A_m$。
- (停顿，强调) 我们把所有精度的坏点集合并起来：$A = \bigcup A_m$。
- 因为 $m$ 是可数的，可数个零测集的并集还是零测集，所以 $\mu(A)=0$。
- 当我们挖掉这个“总垃圾桶” $A$ 后，在剩下的 $A^c$ 上，函数序列就对所有精度都成立，也就是一致收敛了。
4. 完备性与性质 (Completeness & Properties)
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4. Properties
- Completeness: $L^\infty$ is a Banach Space. (Uniform limits of bounded functions are bounded).
- Contrast with $L^p$ ($p<\infty$):
- Simple/Continuous functions are NOT dense.
- “Theorem 2.4.14 fails”.
🗣️ [讲稿 | Script]
- 最后，关于空间的性质。
- 第一，$L^\infty$ 是完备的（Banach Space）。这利用了刚才的一致收敛结论。
- 第二，要注意它和 $L^p$ ($p<\infty$) 的巨大区别。
- 在 $L^\infty$ 里，连续函数通常不是稠密的。
- 也就是说，我们没法用连续函数去在“最大误差”意义下任意逼近一个复杂的函数（比如方波）。这个定理在这里失效了。
🛡️ 答辩/提问作弊条 (Q&A Cheat Sheet)
Q1: 为什么不用普通的 Sup？
A: 普通 Sup 对零测集敏感。改动一个点的值，Sup 变了但积分性质没变。Ess Sup 解决了这个问题。
Q2: 举个 Sup 和 Ess Sup 不一样的例子？
A: Dirichlet 函数（有理数1，无理数0）。Sup 是 1，但 Ess Sup 是 0（因为有理数集测度为0，忽略后函数全为0）。
Q3: 证明里为什么要取并集 $A = \bigcup A_m$？
A: 为了处理所有精度。每个 $A_m$ 只负责精度 $1/m$。取并集后，在 $A$ 之外的地方，才能保证对任意 $\epsilon$ 都成立，从而得到一致收敛。
Q4: $l^\infty$ (小写) 是什么？
A: 它是计数测度下的 $L^\infty$（数列空间）。因为计数测度里唯一的零测集是空集，所以 Ess Sup 退化为普通的 Sup。